示例\(\PageIndex{1}\): How to Solve a Quadratic Inequality Graphically
\(x^{2}−6x+8<0\)以图形方式求解。 用间隔表示法写出解。
解决方案：
第 1 步：以标准形式写下二次不等式。
不等式是标准形式。
\(x^{2}-6 x+8<0\)
第 2 步：\(f(x)=a x^{2}+b x+c\)使用属性或转换绘制函数图表。
我们将使用属性绘制图表。
\(f(x)=x^{2}-6 x+8\)
看看\(a\)方程式。
\(\color{red}{a=1, b=-6, c=8}\)
\(f(x)=x^{2}-6 x+8\)
由于\(a\)为正值，抛物线向上打开。
抛物线向上打开。
图 9.8.2
\(f(x)=x^{2}-6 x+8\)
对称轴是直线\(x=-\frac{b}{2 a}\)。
对称轴
\(x=-\frac{b}{2 a}\)
\(\begin{array}{l}{x=-\frac{(-6)}{2 \cdot 1}} \\ {x=3}\end{array}\)
对称轴是直线\(x=3\)。
顶点位于对称轴上。 替换\(x=3\)到函数中。
顶点
\(\begin{array}{l}{f(x)=x^{2}-6 x+8} \\ {f(3)=(\color{red}{3}\color{black}{)}^{2}-6(\color{red}{3}\color{black}{)}+8} \\ {f(3)=-1}\end{array}\)
顶点是\((3,-1)\)。
我们发现\(f(0)\)
\(y\)-截距
\(\begin{array}{l}{f(x)=x^{2}-6 x+8} \\ {f(0)=(\color{red}{0}\color{black}{)}^{2}-6(\color{red}{0}\color{black}{)}+8} \\ {f(0)=8}\end{array}\)
\(y\)-截距为\((0.8)\)。
我们使用对称轴来找到一个与\(y\)-intercept对称的点。 \(y\)-截距是\(3\)指对称轴左边的单位\(x=3\)。 对称轴右侧的点\(3\)单位有\(x=6\)。
指向对称\(y\)点到截距
重点是\((6,8)\)。
我们解决\(f(x)=0\)。
\(x\)-拦截
我们可以通过分解来求解这个二次方程。
\(\begin{aligned} f(x) &=x^{2}-6 x+8 \\ \color{red}{0} &\color{black}{=}x^{2}-6 x+8 \\ \color{red}{0} &\color{black}{=}(x-2)(x-4) \\ x &=2 \text { or } x=4 \end{aligned}\)
\(x\)-intercepts 是\((2,0)\)和\((4,0)\)。
我们将顶点、截距和点绘制成与\(y\)-intercept对称的图形。 我们将这些\(5\)点连接起来绘制抛物线。
图 9.8.3
第 3 步：根据图表确定解决方案。
\(x^{2}-6 x+8<0\)
不等式要求的值\(x\)使函数小于\(0\)。 哪些值\(x\)使抛物线低于\(x\)-axis。
我们不包括这些值\(2\)，\(4\)因为不等式不只是不等式。
在区间表示法中，解是\((2,4)\)。